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# Die geheime Formel
- URL: https://www.schweizermonat.ch/die-geheime-formel/
- Published: 2019-08-30T03:59:57.000Z
- Updated: 2019-10-29T10:46:11.000Z
- Description: Wenn Meier mal wieder unglaublich gut Kopfrechnen konnte.
- Author: Christoph Luchsinger
- Tags: Kolumne, Das kleine Einmaleins, Ausgabe: Ausgabe 1069 - September 2019, #dossier, #wp-post, #Import 2026-05-13 11:34

Wie Meier das wieder mal im Kopf rechnen konnte: «Wenn das jedes Jahr um 1 Prozent zunimmt, dauert es 70 Jahre bis zur Verdopplung, bei 2 Prozent dauert es 35 Jahre, bei 5 Prozent 14 Jahre und bei 7 Prozent 10 Jahre.» Nach der Sitzung nehmen Sie verschämt den Taschenrechner und überprüfen: 1,0170 \= 2,00676, sapperlott!, und 1,0235 \= 1,99989, Mensch Meier!, und 1,0710 \= 1,96715\. Es stimmt also! Wie hat er das bloss gemacht? Kann der Typ so gut potenzrechnen? Vielleicht ja – aber höchstwahrscheinlich macht er genau das nicht!

Bei einer jährlichen Wachstumsrate von r (wobei 1 Prozent bedeutet: r = 0,01) ist offenbar die Gleichung (1+r)n \= 2 nach n aufzulösen. Das geht auf drei Arten: a) Sie fragen Ihre Kinder, b) Sie springen ohne Zeitverlust zum letzten Abschnitt oder c) Sie reaktivieren Ihr Wissen aus dem Gymnasium und beginnen zu rechnen: Zuerst nimmt man auf beiden Seiten den natürlichen Logarithmus – den «ln» – und erhält ln(\[1+r\]n) = ln(2). Vereinfachen der linken Seite mit Logarithmusregeln (Exponent vorstellen) ergibt n•ln(1+r). Dann benutzen wir, dass der Graph des Logarithmus in der Nähe von 1 etwa eine Steigung von 1 (oder geometrisch ausgedrückt: 45°) aufweist (die Ableitung von ln(x) ist 1/x, daher beträgt sie für x nahe 1 \[also für kleine r\] ungefähr 1). Da der ln(1) = 0 ist, können wir also ln(1+r) approximativ = r setzen. Dadurch erhalten wir n•r = ln(2). Da ln(2) etwa 0,7 ist, können wir nun näherungsweise sagen: n = 0,7/r. Weil wir zum Beispiel 1 Prozent als 0,01 in den Rechnungen führten, erweitern wir den Bruch auf der rechten Seite mit 100 und erhalten: n = 70/Rate, wobei jetzt die Rate r wieder in Prozent anzugeben ist.

Wann immer eine Grösse pro Zeiteinheit um r Prozent wächst, gilt für kleine r – je kleiner, desto genauer –, dass die Zeit bis zur Verdopplung n = 70/Rate beträgt. Das können Sie bei Szenarien des Bevölkerungswachstums, dem CO2\-Ausstoss, dem Wirtschaftswachstum und den Zinsen anwenden. Apropos Zinsen: Die Formel gilt genau gleich für negative r mit der *Zeit bis zur Halbierung*: Wenn Sie einer (para)staatlichen Institution «freiwillig» Geld zu einem negativen Zinssatz von 1 Prozent leihen müssen, dann dauert es 70 Jahre, bis nur noch die Hälfte des Geldes übrig ist.